یک فرآیند مدل سازی ریاضی معمولاً شامل مراحل زیر می‌باشد:
- شناسایی مسئله: در این مرحله، مسئله‌ای که قصد مدل سازی آن را داریم، به دقت شناسایی می‌شود. این شامل تعیین هدف(ها) مسئله، متغیرهای مهم و اطلاعات موجود می‌شود.
- تعریف متغیرها: متغیرهایی که در مسئله نقش دارند، مشخص می‌شوند. این متغیرها ممکن است متغیرهای وابسته به زمان، فضا، یا شرایط خاص باشند.
- تعیین پارامترها و روابط: پارامترها و روابط بین متغیرها مشخص می‌شوند. این شامل تعیین توابع ریاضی، قوانین، معادلات و محدودیت‌های مرتبط با مسئله است.
- توسعه مدل ریاضی: در این مرحله، مدل ریاضی با استفاده از اطلاعاتی که در مراحل قبلی تعیین شده‌اند، ایجاد می‌شود. این مدل می‌تواند شامل معادلات، نوع توابع، محدودیت‌ها و سایر المان‌های مورد نیاز باشد.
- حل مدل: پس از توسعه مدل ریاضی، نیاز است تا از روش‌های مناسب برای حل مدل استفاده شود. این شامل استفاده از الگوریتم‌های ریاضی، روش‌های تقریبی، یا روش‌های بهینه‌سازی است. برای مدل های خطی (LP)، می‌توان از روش ترسیمی و یا سایر روش‌ها مانند روش سیمپلکس استفاده نمود.
- تحلیل و تفسیر نتایج: پس از حل مدل، نتایج بدست آمده تحلیل و تفسیر می‌شوند. این شامل بررسی اثرات مختلف تغییرات در پارامترها و متغیرها، ارزیابی عملکرد مدل، و تصمیم‌گیری بر مبنای نتایج است.
این مراحل به طور کلی فرآیند مدل سازی ریاضی را شامل می‌شود. انتخاب مناسب مدل، دقت در شناسایی مسائل و تفسیر صحیح نتایج از جمله موارد مهم در مدل سازی ریاضی است که به دقت و تجربه نیاز دارد.
مثال: 64 نفر باید در چادرهای 4 نفره و 8 نفره اسکان یابند، حداکثر تعداد چادرهایی که این افراد می‌توانند با خود حمل کنند، 13 چادر است. به صورت ریاضی مدل را بنویسید.
پاسخ:
![\[\begin{array}{l} {x_A} + {x_B} \le 13\\ 8{x_A} + 4{x_B} = 64\\ {x_A},{x_B} \ge 0,{\mathop{\rm int}} \end{array}\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-10b12153f3299f094880fbce41a857fb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال: نسبت فروش محصول اول به حاصل جمع فروش محصولات دوم و سوم حداقل 0.6 است.
پاسخ:
![\[\begin{array}{l} \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + {x_3}}} \ge 0.6\\ {x_1},{x_2},{x_3} \ge 0 \end{array}\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e74bb77cb3262938a8fc73c9a1e31c8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال: یک کالا از دو قطعه A و B ساخته می‌شود. تابع هدف مسئله جهت حداکثر تعداد تولید کدام است؟
پاسخ:
![\[\max (\min ({x_A},{x_B}))\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ca761885134027e7d4e16297188352c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال: یک کالا از دو قطعه 1 و 2 ساخته می‌شود. به طوری که در آن از سه قطعه 1 و دو قطعه 2 استفاده می‌شود. تابع هدف مسئله جهت حداکثر تولید را بنویسید.
پاسخ:
![\[\max (\min (\frac{{{x_1}}}{3},\frac{{{x_2}}}{2}))\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41df67cc15ab8bc0453cda7d8665a78d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال: یک روز را به 4 شیفت کاری تقسیم می‌کنیم. تعداد افرادی که در هر شیفت کاری مورد نیاز است مشخص می‌باشد. اگر xi را بگیریم تعداد افرادی که در شیفت i ام شروع به کار می‌کنند و 12 ساعت باید کار کنند، مدل‌سازی مسئله جهت حداقل افراد موردنیاز را بنویسید.
پاسخ:
![\[\begin{array}{l} \min Z = {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4}\\ s.t:\\ {x_1} + {x_4} \ge 5\\ {x_1} + {x_2} \ge 10\\ {x_2} + {x_3} \ge 12\\ {x_3} + {x_4} \ge 18\\ {x_i} \ge 0,{\mathop{\rm int}} \end{array}\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a2c0ae73db92e3d8dafccf98c8f60df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال: یک موسسه مالی در نظر دارد تاسیسات وام‌دهی خود را برای 12 میلیارد ریال تنظیم کند. پنج نوع وام که به ترتیب با 1، 2، 3، 4 و 5 مشخص می‌شود وجود دارند. نرخ بهره هر یک از این وام‌ها به ترتیب 0.14، 0.13، 0.12، 0.125 و 0.1 می‌باشد. احتمال عدم پرداخت وام‌ها از سوی مشتریان نیز به ترتیب 0.1، 0.07، 0.03، 0.05 و 0.02 می‌باشد. خط مشی این موسسه مالی این است که در کل نسبت، عدم پرداخت‌ها به وام‌ها بیش از 0.04 نباشد. محدودیت مربوطه کدام است؟
پاسخ:
![\[\frac{{0.1{x_1} + 0.07{x_2} + 0.03{x_3} + 0.05{x_4} + 0.02{x_5}}}{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_4} + {x_5}}} \le 0.04\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f1970db1a5bde9621f78f980a8e92ae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ویدیو آموزشی مدل سازی ریاضی:
مدل سازی ریاضی رو خیلی خوب توضیح دادین. واقعا ممنون
سلام علی عزیز،
خوشحالیم که راضی بودید.
موفق باشید