مدل سازی ریاضی برای چند مسئله مهم
شرح مسائل و مدل سازی ریاضی آن‌ها:
در ادامه چندین مثال مدل سازی ریاضی تشریح و بحث شده‌اند.
در ویدیوهای قبلی چندین تکنیک مدل سازی ریاضی تشریح شده‌اند (برای مشاهده آموزش تکنیک های مدل سازی ریاضی کلیک کنید)
مثال مدل سازی ریاضی اول: به منظور افزایش امنیت در محوطه دانشگاه، دانشکده ایمنی در حال بررسی نصب تلفن‌های اضطراری در مکان‌های تعیین شده می باشند. دانشکده می‌خواهد حداقل تعداد تلفن را نصب کند به طوری که هر یک از خیابان‌های اصلی محوطه حداقل تحت پوشش یک تلفن قرار گیرد. منظقی است که تلفن‌ها در تقاطع خیابان‌ها نصب شوند به طوری که هر تلفن حداقل 2 خیابان را تحت پوشش قرار دهد. چیدمان خیابان ها حداکثر به 8 مکان تلفن نیاز دارد.
پاسخ:
![\[\begin{array}{l} MinZ = {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} + {x_6} + {x_7} + {x_8}\\ s.t:\\ {x_1} + {x_2} \ge 1\\ {x_2} + {x_3} \ge 1\\ {x_4} + {x_5} \ge 1\\ {x_7} + {x_8} \ge 1\\ {x_6} + {x_7} \ge 1\\ {x_2} + {x_6} \ge 1\\ {x_1} + {x_6} \ge 1\\ {x_4} + {x_7} \ge 1\\ {x_2} + {x_4} \ge 1\\ {x_5} + {x_8} \ge 1\\ {x_3} + {x_5} \ge 1\\ {x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6},{x_7},{x_8} \in \{ 0,1\} \end{array}\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34cdd10ec665cbe9614a232e525c9807_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال مدل سازی ریاضی دوم: فردی برای اشتراک سرویس تلفن از راه دور در آمریکا به 3 شرکت دسترسی دارد. شرکت مابل هزینه ثابت 16 دلار در ماه به علاوه 0.25 دلار در دقیقه دریافت می‌کند. شرکت پابل هزینه ثابت 25 دلار در ماه دارد ولی هزینه هر دقیقه به 0.21 دلار کاهش می‌یابد.
به همین ترتیب شرکت بیبی بل هزینه ثابت ماهانه 18 دلار و 0.22 دلار در هر دقیقه دارد. این شخص به طور متوسط 200 دقیقه مکالمه راه دور در مدت یکماه دارد. فرض کنید هزینه ثابت فقط در صورتی پرداخت می‌شود که مکالمه انجام گیرد و فرد در صورت تمایل می‌تواند مکالماتش را بین 3 شرکت تقسیم کند. برای حداقل کردن صورت حساب ماهانه تلفن چگونه باید از 3 شرکت استفاده شود؟
پاسخ:
![\[\begin{array}{l} MinZ = 16{x_A} + 0.25{y_A} + 25{x_B} + 0.27{y_B} + 18{x_C} + 0.22{y_C}\\ s.t:\\ {y_A} \le M{x_A}\\ {y_B} \le M{x_B}\\ {y_C} \le M{x_C}\\ {y_A} + {y_B} + {y_C} \ge 200\\ {y_A},{y_B},{y_C} \ge 0\\ {x_A},{x_B},{x_C} \in \{ 0,1\} \end{array}\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f08f3a8686b7d21f990ae0268d279ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال مدل سازی ریاضی سوم: یک شرکت تولیدی تصمیم دارد تا به منظور توسعه فعالیت‌های خود، کارخانه جدیدی در یکی از دو شهر الف یا ب ایجاد نماید. در شهری که برای این منظور انتخاب می‌شود، می‌توان انبار جدیدی نیز احداث کرد. در ستون چهارم جدول ارزش خالص فعلی هر کدام از این انتخاب‌ها و در ستون آخر آن، سرمایه‌گذاری مورد نیاز نشان داده شده است. حداکثر بودجه‌ای که می‌تواند به این امر اختصاص داده شود معادل 25 میلیون دلار برآورد شده است. هدف مسئله، تعیین ترکیب‌های موجه انتخاب‌های است که ارزش خالص فعلی را حداکثر نماید.
پاسخ:
![\[\begin{array}{l} MaxZ = 7{x_1} + 5{x_2} + 4{x_3} + 3{x_4}\\ s.t:\\ {x_1} + {x_2} = 1\\ {x_3} \le {x_1}\\ {x_4} \le {x_2}\\ 20{x_1} + 15{x_2} + 12{x_3} + 10{x_4} \le 25\\ {x_1},{x_2},{x_3},{x_4} \in \{ 0,1\} \end{array}\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a865073ba38e143deb794807458d383_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال مدل سازی ریاضی چهارم: یک شرکت تولیدی می‌خواهد سه کارگر را به سه ماشین تخصیص دهد. هزینه روزانه ناشی از تخصیص در جدول زیر آمده است. این شرکت می‌خواهد بداند که کدام ماشین به کدام کارگر تخصیص یابد تا کل هزینه حداقل شود. مدل برنامه ریزی صفر و یک برای این مسئله بنویسید.
پاسخ:
![\[\begin{array}{l} MinZ = 30{x_{1A}} + 60{x_{1B}} + 45{x_{1C}} + 45{x_{2A}} + 50{x_{2B}} + 38{x_{2C}} + 52{x_{3A}} + 47{x_{3B}} + 42{x_{3C}}\\ s.t:\\ {x_{1A}} + {x_{1B}} + {x_{1C}} = 1\\ {x_{2A}} + {x_{2B}} + {x_{2C}} = 1\\ {x_{3A}} + {x_{3B}} + {x_{3C}} = 1\\ {x_{1A}} + {x_{2A}} + {x_{3A}} = 1\\ {x_{1B}} + {x_{2B}} + {x_{3B}} = 1\\ {x_{1C}} + {x_{2C}} + {x_{3C}} = 1\\ x \in \{ 0,1\} \end{array}\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-07f4acb8cf23b6034439599ca4dd6852_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2) برای هر یک از شرایط زیر محدودیت بنویسید:
الف) از بین پروژه‌های 4 و 5 و 7 حداکثر 2 پروژه را می‌توان انتخاب نمود
![\[{x_4} + {x_5} + {x_7} \le 2\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb6cab4d2353f46116b0facf14e94a58_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ب) پروژه 6 نمی‌تواند انتخاب شود مگر آنکه هر دو پروژه 2 و 8 انتخاب شوند
![\[2{x_6} \le {x_2} + {x_8}\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31b8ac484054e198046e667722c3e513_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
مثال مدل سازی ریاضی پنجم: شرکتی سه محصول الف، ب و ج را تولید می‌کند. میزان نیروی انسانی و مواد خام مورد نیاز و سود هر واحد از این محصولات در جدول زیر داده شده است. تولید هر محصول نیازمند ماشین آلات خاص خود است. شرکت می‌تواند ماشین‌آلات را با نرخ های هفتگی زیر کرایه کند.
ماشین‌آلات محصول الف 1000 واحد پولی، ماشین‌آلات محصول ب 1500 واحد پول، ماشین‌آلات محصول ج 2000 واحد پول. اگر قرار باشد هر کدام از این محصولات تولید شوند، حداقل مقدار تولید اقتصادی آن ها عبارت است از: محصول الف 200 واحد، محصول ب 300 واحد، محصول ج 500 واحد در هفته. مسئله را به صورت برنامه ریزی عدد صحیح فرموله کنید تا سود حداکثر شود.
پاسخ:
![\[\begin{array}{l} MaxZ = 25{x_1} + 30{x_2} + 45{x_3} - 1000{y_1} - 1500{y_2} - 2000{y_3}\\ s.t:\\ 3{x_1} + 4{x_2} + 5{x_3} \le 4000\\ 4{x_1} + 3{x_2} + 6{x_3} \le 6000\\ {x_1} \le M{y_1}\\ {x_1} \ge 200 - M(1 - {y_1})\\ {x_2} \le M{y_2}\\ {x_2} \ge 300 - M(1 - {y_2})\\ {x_3} \le M{y_3}\\ {x_3} \ge 500 - M(1 - {y_3})\\ x \ge 0,{\mathop{\rm int}} \\ y \in \{ 0,1\} \end{array}\]](https://optimamooz.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5145edb4eb5f13971ce5bd5ddc64f3bc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
خیلی شیوا و واضح بود. ممنون استاد عزیز
تشکر مهرداد عزیز از نظر شما. موفق باشید